Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC，垂足為點F，分析下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③S△AEF：S△CAB=1：4；④AF2=2EF2．其中正確的結論有（　　）

A. 4個 B. 3個 C. 2個 D. 1個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，可得∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；
②根據點E是AD邊的中點，以及AD∥BC，得出△AEF∽△CBF，根據相似三角形對應邊成比例，可得CF=2AF，故②正確；
③根據△AEF∽△CBF得到EF與BF的比值，據此求出S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，可得S△AEF：S△CAB=1：6，故③錯誤；
④根據AA可得△AEF∽△BAF，根據相似三角形的性質可得AF2=2EF2，故④正確．

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，
∴∠EAC=∠ACB，
∵BE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正確；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴=，
∵AE=AD=BC，
∴=，
∴CF=2AF，故②正確；
∵△AEF∽△CBF，
∴EF：BF=1：2，
∴S△AEF=S△ABF，S△AEF=S△BCF，
∴S△AEF：S△CAB=1：6，故③錯誤；
∵△AEF∽△CAB，
∴∠AEF=∠BAF，
∵∠AFE=∠BFA=90°，
∴△AEF∽△BAF，
∴，
AF2=EFBF=2EF2，故④正確．
故選：B．