Question

【題目】如圖，菱形ABCD的邊長為20cm，∠ABC=120°，對角線AC，BD相交于點O，動點P從點A出發，以4cm/s的速度，沿A→B的路線向點B運動；過點P作PQ∥BD，與AC相交于點Q，設運動時間為t秒，0＜t＜5．

（1）設四邊形PQCB的面積為S，求S與t的關系式；

（2）若點Q關于O的對稱點為M，過點P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD（或CD）于點N，當t為何值時，點P、M、N在一直線上？

（3）直線PN與AC相交于H點，連接PM，NM，是否存在某一時刻t，使得直線PN平分四邊形APMN的面積？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) S=﹣2（0＜t＜5）； (2) ;(3)見解析.

【解析】

（1）如圖1，根據S=S△ABC-S△APQ，代入可得S與t的關系式；
（2）設PM=x，則AM=2x，可得AP=x=4t，計算x的值，根據直角三角形30度角的性質可得AM=2PM=，根據AM=AO+OM，列方程可得t的值；
（3）存在，通過畫圖可知：N在CD上時，直線PN平分四邊形APMN的面積，根據面積相等可得MG=AP，由AM=AO+OM，列式可得t的值．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°，AC⊥BD，

∴∠OAB=30°，

∵AB=20，

∴OB=10，AO=10，

由題意得：AP=4t，

∴PQ=2t，AQ=2t，

∴S=S△ABC﹣S△APQ，

=，

= ，

=﹣2t2+100（0＜t＜5）；

（2）如圖2，在Rt△APM中，AP=4t，

∵點Q關于O的對稱點為M，

∴OM=OQ，

設PM=x，則AM=2x，

∴AP=x=4t，

∴x=，

∴AM=2PM=，

∵AM=AO+OM，

∴=10+10﹣2t，

t=；

答：當t為秒時，點P、M、N在一直線上；

（3）存在，

如圖3，∵直線PN平分四邊形APMN的面積，

∴S△APN=S△PMN，

過M作MG⊥PN于G，

∴ ，

∴MG=AP，

易得△APH≌△MGH，

∴AH=HM=t，

∵AM=AO+OM，

同理可知：OM=OQ=10﹣2t，

t=10=10﹣2t，

t=．

答：當t為秒時，使得直線PN平分四邊形APMN的面積．