Question

如果三角形有一邊上的中線恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“勻稱三角形”．
（1）已知：如圖1，在△ABC中，∠C=90°，．
求證：△ABC是“勻稱三角形”；
（2）在平面直角坐標系xoy中，如果三角形的一邊在x軸上，且這邊的中線恰好等于這邊的長，我們又稱這個三角形為“水平勻稱三角形”．如圖2，現有10個邊長是1的小正方形組成的長方形區域記為G, 每個小正方形的頂點稱為格點，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D兩點與O不重合）是x軸上的格點，且點C在點A的左側．在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P共有幾個？其中是否存在橫坐標為整數的點P，如果存在請求出這個點P的坐標，如果不存在請說明理由．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）4個，存在，（3，）．

試題分析：（1）應用勾股定理求出AC和它的中線長，根據勻稱三角形的定義即可證得．
（2）根據勻稱三角形的定義求解即可．
試題解析：（1） 如圖1，作AC邊的中線BD交AC于點D，
∵∠C=90°，BC= 2，AB = 2，∴AC =  = 4．
∴AD=CD=2，BD = ．∴AC = BD．
∴△ABC是“勻稱三角形”．

（2）①在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P共有4個 ．
②在G內使△PAC與△PBD都是“水平勻稱三角形”的點P中，存在橫坐標為整數的點P．
如圖，當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合時，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形．
∵A（3，0），C（2，0），B（4，0），D（3，0），∴AC＝1，BD＝1．
設PM、PN分別為CA、DB上的中線，
∴AM＝，AN＝, ∴AM＝AN=．
∴點A為MN的中點．
∵△PAC與△PBD是“水平勻稱三角形”，
∴PM＝AC＝1，PN＝BD＝1．∴PM＝PN=1．
∴PA⊥MN，即PA與x軸垂直．
∵A（3，0），∴P點橫坐標為整數3．
在Rt△PMA中，PM＝1，AM=，∴PA＝．
∴P（3，）．
∴當C點坐標為（2，0），D點坐標為（3，0）與A重合時，△PAC與△PBD是水平勻稱三角形且P點橫坐標為整數．