Question

【題目】在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與軸負半軸交于點，與軸正半軸交于點，點為直線上一點，，點為軸正半軸上一點，連接，的面積為48．

(1)如圖1，求點的坐標；

(2)如圖2，點分別在線段上，連接，點的橫坐標為，點的橫坐標為，求與的函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(3)在(2)的條件下，如圖3，連接，點為軸正半軸上點右側一點，點為第一象限內一點，，，延長交于點，點為上一點，直線經過點和點，過點作，交直線于點，連接，請你判斷四邊形的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）B（6，0）；（2）d＝；（3）四邊形是矩形，理由見解析

【解析】

（1）作DL⊥y軸垂足為L點，DI⊥AB垂足為I，證明△DLC≌△AOC，求得D（2，12），再由S△ABD＝ABDI＝48，求得OB＝ABAO＝82＝6，即可求B坐標；
（2）設∠MNB＝∠MBN＝α，作NK⊥x軸垂足為K，MQ⊥AB垂足為Q，MP⊥NK，垂足為P；證明四邊形MPKQ為矩形，再證明△MNP≌△MQB，求出BD的解析式為y＝3x＋18，MQ＝d，把y＝d代入y＝3x＋18得d＝3x＋18，表達出OQ的值，再由OQ＝OK＋KQ＝t＋d，可得d＝；
（3）作NW⊥AB垂足為W，證明△ANW≌△CAO，根據邊的關系求得N（4，2）；延長NW到Y，使NW＝WY，作NS⊥YF，再證明△FHN≌△FSN，可得SF＝FH=，NY＝2＋2＝4；設YS＝a，FY＝FN＝a＋，在Rt△NYS和Rt△FNS中利用勾股定理求得FN；在Rt△NWF中，利用勾股定理求出WF＝6，得到F（10，0）；設GF交y軸于點T，設FN的解析式為y＝px＋q（p≠0）把F（10，0）N（4，2）代入即可求出直線FN的解析式，聯立方程組得到G點坐標；把G點代入得到y＝x+3，可知R（4，0），證明△GRA≌△EFR，可得四邊形AGFE為平行四邊形，再由∠AGF＝180°∠CGF＝90°，可證明平行四邊形AGFE為矩形．

解：（1）令x＝0，y＝6，令y＝0，x＝2，
∴A（2，0），B（0，6），
∴AO＝2，CO＝6，
作DL⊥y軸垂足為L點，DI⊥AB垂足為I，
∴∠DLO＝∠COA＝90°，∠DCL＝∠ACO，DC＝AC，
∴△DLC≌△AOC（AAS），
∴DL＝AO＝2，
∴D的橫坐標為2，
把x＝2代入y＝3x＋6得y＝12，
∴D（2，12），
∴DI＝12，
∵S△ABD＝ABDI＝48，
∴AB＝8；
∵OB＝ABAO＝82＝6，
∴B（6，0）；

（2）∵OC＝OB＝6，
∴∠OCB＝∠CBO＝45°，
∵MN＝MB，
∴設∠MNB＝∠MBN＝α，
作NK⊥x軸垂足為K，MQ⊥AB垂足為Q，MP⊥NK，垂足為P；
∴∠NKB＝∠MQK＝∠MPK＝90°，
∴四邊形MPKQ為矩形，
∴NK∥CO，MQ＝PK；
∵∠KNB＝90°45°＝45°，
∴∠MNK＝45°＋α，∠MBQ＝45°＋α，
∴∠MNK＝∠MBQ，
∵MN＝MB，∠NPM＝∠MQB＝90°，
∴△MNP≌△MQB（AAS），
∴MP＝MQ；
∵B（6，0），D（2，12），
∴設BD的解析式為y＝kx＋b（k≠0），
∴，解得：k=-3，b=18，
∴BD的解析式為y＝3x＋18，
∵點M的縱坐標為d，
∴MQ=MP＝d，把y＝d代入y＝3x＋18得d＝3x＋18，
解得x＝，
∴OQ＝；
∵N的橫坐標為t，
∴OK＝t，
∴OQ＝OK＋KQ＝t＋d，
∴＝t＋d，
∴d＝；

（3）作NW⊥AB垂足為W，
∴∠NWO＝90°，
∵∠ACN＝45°＋∠ACO，∠ANC＝45°＋∠NAO，
∵∠ACO＝∠NAO，
∴∠ACN＝∠ANC，
∴AC＝AN，
又∵∠ACO＝∠NAO，∠AOC＝∠NOW＝90°，
∴△ANW≌△CAO（AAS），
∴AO＝NW＝2，
∴WB＝NW＝2，
∴OW＝OBWB＝62＝4，
∴N（4，2）；
延長NW到Y，使NW＝WY，

∴△NFW≌△YFW（SAS）

∴NF＝YF，∠NFW＝∠YFW，
又∵∠HFN＝2∠NFO，
∴∠HFN＝∠YFN，
作NS⊥YF，
∵∠FH⊥NH，
∴∠H＝∠NSF＝90°，
∵FN＝FN，
∴△FHN≌△FSN（AAS），
∴SF＝FH＝，NY＝2＋2＝4，
設YS＝a，FY＝FN＝a＋，
在Rt△NYS和Rt△FNS中：NS2＝NY2YS2；NS2＝FN2FS2；NY2YS2＝FN2FS2，
∴42a2＝(a＋)2-()2，
解得a＝
∴FN＝；
在Rt△NWF中WF＝，
∴FO＝OW＋WF＝4＋6＝10，
∴F（10，0），
∴AW＝AO＋OW＝2＋4＝6，
∴AW＝FW，
∵NW⊥AF，
∴NA＝NF，
∴∠NFA＝∠NAF，
∵∠ACO＝∠NAO，
∴∠NFA＝∠ACO，
設GF交y軸于點T，∠CTF＝∠ACO＋∠CGF＝∠COF＋∠GFO，
∴∠CGF＝∠COF＝90°，
設FN的解析式為y＝px＋q（p≠0），把F（10，0）N（4，2）代入y＝px＋q
得，解得，

∴，

∴聯立，解得：，

∴，
把G點代入y＝mx＋3，得，得m＝，
∴y＝x＋3，
令y＝0得0＝x＋3，x＝4，
∴R（4，0），
∴AR＝AO＋OR＝2＋4＝6，RF＝OFOR＝104＝6，
∴AR＝RF，
∵FE∥AC，
∴∠FEG＝∠AGE，∠GAF＝∠EFA，
∴△GRA≌△EFR（AAS），
∴EF＝AG，
∴四邊形AGFE為平行四邊形，
∵∠AGF＝180°∠CGF＝180°90°＝90°，
∴平行四邊形AGFE為矩形．