Question

【題目】如圖，點(diǎn)E為△ABC的外接圓⊙O上一點(diǎn)，OE⊥BC于點(diǎn)D，連接AE并延長至點(diǎn)F，使∠FBC＝∠BAC，

（1）求證：直線BF是⊙O的切線；

（2）若點(diǎn)D為OE中點(diǎn)，過點(diǎn)B作BG⊥AF于點(diǎn)G，連接DG，⊙O的半徑為,AC=5.

①求∠BAC的度數(shù)；

②求線段DG的長.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）①60°；②1.

【解析】

（1）連接OB、OC，由垂徑定理、圓周角定理得∠BOD=∠BAC=∠FBC，根據(jù)∠BOD+∠OBD=90，得到∠FBC+∠OBD=90，即可證得直線BF是⊙O的切線；

（2）①由點(diǎn)D為OE中點(diǎn)，得到,利用cos∠BOD=，即可求出∠BOD=60，得到∠BAC=60；

②延長AC、BG交于點(diǎn)M，證明△ABM是等邊三角形，由點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，G是BM的中點(diǎn)，得到DG是△BCM的中位線，過點(diǎn)M作MP⊥AB，過點(diǎn)O作ON⊥AM，連接OA，利用勾股定理求出ON的長，再利用勾股定理求出MN的長，即可求出MC的長度得到DG的長.

（1）連接OB、OC，

∵OE⊥BC，

∴∠BOD=∠BOC,∠ODB=90，

∵∠BAC=∠BOC,

∴∠BOD=∠BAC,

∵∠FBC＝∠BAC,∠BOD+∠OBD=90，

∴∠FBC+∠OBD=90，

即∠OBF=90，

∴OB⊥BF,

∴直線BF是⊙O的切線；

（2）①∵點(diǎn)D為OE中點(diǎn)，

∴,

∴cos∠BOD=，

∴∠BOD=60，

∴∠BAC=60；

②延長AC、BG交于點(diǎn)M，

∵OE⊥BC，

∴,BD=CD,

∵BG⊥AF，

∴∠AGB=90，

∴∠ABG=60,

∴△ABM是等邊三角形，BG=AG,

∴DG是△BCM的中位線，

∴DG=CM,

過點(diǎn)M作MP⊥AB，

∴點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，∠AMP=30，

∴MP過點(diǎn)O,

過點(diǎn)O作ON⊥AM，連接OA，

∴AN=NC=AC=,

∵AO=,

∴,

∴，

∴MC=MN-NC=2，

∴DG=MC=1.