Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有任意三角形，當(dāng)這個(gè)三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半時(shí)，稱這個(gè)三角形叫“和諧三角形”，這條邊叫“和諧邊”，這條中線的長度叫“和諧距離”．

（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），這個(gè)點(diǎn)中，能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”的點(diǎn)是 ，“和諧距離”是 ；

（2）連接BD，點(diǎn)M，N是BD上任意兩個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)M，N不重合），點(diǎn)E是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△EMN是以MN為“和諧邊”的“和諧三角形”，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；

（3）已知⊙O的半徑為2，點(diǎn)P是⊙O上的一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，請描述出點(diǎn)Q所在位置．

Answer 1

【答案】（1）A,B；；（2）；（3）點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓上；或在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上．

【解析】

（1）由題意利用“和諧三角形”以及“和諧距離”的定義進(jìn)行分析求解；

（2）由題意可知以BD的中點(diǎn)為圓心，以BD為直徑作圓此時(shí)可求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍；

（3）根據(jù)題意△OPQ是“和諧三角形”，且“和諧距離”是2，畫出圖像進(jìn)行分析.

解：（1）由題意可知當(dāng)A（2,0），B（0,4）與O構(gòu)成三角形時(shí)滿足圓周角定理即能與點(diǎn)O組成“和諧三角形”，此時(shí)“和諧距離”為；

（2）根據(jù)題意作圖，以BD的中點(diǎn)為圓心，以BD為直徑作圓，

可知當(dāng)E在如圖位置時(shí)求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍，

解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)t的取值范圍為；

（3）如圖

當(dāng)PQ為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓上；

當(dāng)OQ為“和諧邊”時(shí)，點(diǎn)Q在以點(diǎn)O為圓心，4為半徑的圓上.