Question

（1997•上海）已知直角坐標(biāo)系內(nèi)有一條直線和一條曲線，這條直線和x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，且OA=OB=1，這條曲線是函數(shù)y=

1

2x

的圖象在第一象限內(nèi)的一個(gè)分支，點(diǎn)P是這條曲線上任意一點(diǎn)，它的坐標(biāo)是（a，b），由點(diǎn)P向x軸、y軸所作的垂線PM、PN（點(diǎn)M、N為垂足）分別與直線AB相交于點(diǎn)E和點(diǎn)F．
（1）設(shè)交點(diǎn)E和F都在線段AB上（如圖所示），分別求點(diǎn)E、點(diǎn)F的坐標(biāo)（用a的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)，用b的代數(shù)式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)，只須寫出答案，不要求寫出計(jì)算過程）．
（2）求△OEF的面積（結(jié)果用a、b的代數(shù)式表示）．
（3）△AOF與△BOE是否一定相似？如果一定相似，請予以證明；如果不一定相似或者一定不相似，請簡要說明理由．
（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，△OEF隨之變動(dòng)，指出在△OEF的三個(gè)內(nèi)角中，大小始終保持不變的那個(gè)角和它的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB解析式為y=mx+n，將A與B坐標(biāo)代入求出m與n的值，確定出直線AB解析式，根據(jù)F縱坐標(biāo)為b，E橫坐標(biāo)為a，即可求出E與F的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)PM、PN與線段AB都相交時(shí)，如圖1所示，三角形EOF的面積由三角形AOB的面積減去三角形AOE的面積減去三角形BOF的面積，求出即可；當(dāng)PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長線或AB延長線相交時(shí)，如圖2和圖3，同理求出三角形EOF的面積；
（3）△AOF與△BOE一定相似，根據(jù)題意易知∠A=∠B，要證△AOF與△BOE相似，只證夾邊對應(yīng)成比例即可；
（4）應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理及內(nèi)外角關(guān)系可求∠EOF=45°是一定值，即解．

解答：
解：（1）根據(jù)題意設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，將A與B坐標(biāo)代入得：

m+n=0 n=1

，
解得：m=-1，n=1，
∴直線AB的解析式為y=-x+1，
將x=a代入解析式得：y=1-a；將y=b代入解析式得：x=1-b，
則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（a，1-a），點(diǎn)F的坐標(biāo)是（1-b，b），
（2）當(dāng)PM、PN與線段AB都相交時(shí)，如圖1，
∴S_△EOF=S_△AOB-S_△AOE-S_△BOF
=

1

2

×1×1-

1

2

×1×（1-a）-

1

2

×1×（1-b）=

a+b-1

2

，
當(dāng)PM、PN中有一條與AB相交，另一條與BA延長線或AB延長線相交時(shí)，如圖2和圖3，
∴S_△EOF=S_△FOA+S_△AOE=

1

2

×1×b+

1

2

×1×（a-1）=

a+b-1

2

，
∴S_△EOF=S_△FOB+S_△BOE=

1

2

×1×（b-1）+

1

2

×1×a=

a+b-1

2

，
則S_△EOF=

a+b-1

2

；
（3）△AOF和△BEO一定相似．
∵如圖1，OA=OB=1，
∴∠OAF=∠EBO，
∴BE=BA-AE=

2

-

(1-a)2+(1-a)2

=

2

a，
AF=BA-BF=

2

-

(1-b)2+(1-b)2

=

2

b，
∵點(diǎn)P是函數(shù)y=

1

2x

圖象上任意一點(diǎn)，
∴b=

1

2a

，即2ab=1，
∴

2

a×

2

b=1，即AF•BE=OB•OA，
∴

AF

OB

=

OA

BE

，
∴△AOF∽△BEO，
∵對圖2，圖3同理可證，
∴△AOF∽△BEO；
（4）當(dāng)點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)時(shí)，在△OEF中，∠EOF一定等于45°，
由（3）知，△AOF∽△BEO，
∴∠AFO=∠BOE，
如圖1，在△BOF中，∠AFO=∠BOF+∠B，
而∠BOE=∠BOF+∠EOF，
∴∠EOF=∠B=45°，
對圖2，圖3同理可證，
∴∠EOF=45°．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，難度中等，涉及的知識有：反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，以及相似三角形性質(zhì)判定，同學(xué)們只有熟練掌握這些知識點(diǎn)，才能正確的解答．