Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點，過點E作，與AC、DC分別交于點為CG的中點，連結DE、EH、DH、下列結論： ； ≌； ； 若，則其中結論正確的有

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

Answer 1

【答案】D

【解析】試題解析：①∵四邊形ABCD為正方形，EF∥AD，
∴EF=AD=CD，∠ACD=45°，∠GFC=90°，
∴△CFG為等腰直角三角形，
∴GF=FC，
∵EG=EF-GF，DF=CD-FC，
∴EG=DF，故①正確；
②∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=CH，∠GFH=∠GFC=45°=∠HCD，
在△EHF和△DHC中，
，

∴△EHF≌△DHC（SAS），故②正確；
③∵△EHF≌△DHC（已證），
∴∠HEF=∠HDC，
∴∠AEH+∠ADH=∠AEF+∠HEF+∠ADF-∠HDC=∠AEF+∠ADF=180°，故③正確；
④∵，

∴AE=2BE，
∵△CFG為等腰直角三角形，H為CG的中點，
∴FH=GH，∠FHG=90°，
∵∠EGH=∠FHG+∠HFG=90°+∠HFG=∠HFD，
在△EGH和△DFH中，
，

∴△EGH≌△DFH（SAS），
∴∠EHG=∠DHF，EH=DH，∠DHE=∠EHG+∠DHG=∠DHF+∠DHG=∠FHG=90°，
∴△EHD為等腰直角三角形，
如圖，過H點作HM⊥CD于M，

設HM=x，則DM=5x，DH=x，CD=6x，
則S△DHC=×HM×CD=3x2，S△EDH=×DH2=13x2，
∴3S△EDH=13S△DHC，故④正確；
故選D．