Question

【題目】已知：如圖點在正比例函數圖象上，點坐標為，連接，，點是線段的中點，點在線段上以每秒2個單位的速度由點向點運動，點在線段上由點向點運動，兩點同時運動，同時停止，運動時間為秒．

（1）正比例函數的關系式為 ；

（2）當秒，且時，求點的坐標；

（3）連接，在點運動過程中，與是否全等？如果全等，請求出點的運動速度；如果不全等，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）當點的運動速度是每秒個單位或每秒個單位時，與全等．

【解析】

（1）設正比例函數的解析式為y=kx，然后將點A的坐標代入求解即可；
（2）過點Q作QH⊥x軸于點H，由t=1，可知BP=2，從而可求得OP=10，然后根據三角形的面積公式可求出QH的長，又點Q在正比例函數圖象上，從而可得出點Q的坐標；
（3）由OA=AB=10得到∠QOP=∠CBP，由△OPQ與△BPC全等可知：OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB，再分別求出AQ的長，從而可求得點Q的運動速度．

解：（1）設正比例函數的解析式為y=kx，
把A（6，8）代入得：8=6k．
解得：k=．
故答案為：y=x；
（2）當t=1時，BP=2，OP=10．
如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，

∵S△OPQ=OPQH=6，∴QH=．
把Q（x，）代入y=x中，得x=，
∴點Q的坐標為（，）；
（3）∵AO=AB=10，點C是線段AB的中點，
∴BC=5，∠QOP=∠CBP．
若△OPQ與△BPC全等，
則有OP=BC=5，OQ=BP或OQ=BC=5，OP=PB．
設Q點的運動速度為v個單位/秒，

①OP=BC=5，OQ=BP時，
∵OP=5，∴12-2t=5．解得t=．

∴OQ=BP=2×=7．

∴AQ=10-7=3．
∴v=3，解得v=．
∴點Q運動的速度為個單位/秒．
②當OQ=BC=5，OP=PB=6時，
由OP=PB=OB=6可知：2t=6，
解得：t=3．
∵OQ=5，∴AQ=OA-OQ=10-5=5．
∴3v=5，解得v=．
∴點Q運動的速度為個單位/秒．
綜上所述：當點Q的運動速度是每秒個單位或每秒個單位時，△OPQ與△BPC全等．