Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，DQ⊥AP于點Q

（1）判斷△DAQ與△APB是否相似，并說明理由．

（2）當點P在BC上移動時，線段DQ也隨之變化，設PA＝x，DQ＝y，求y與x間的函數關系式，并求出x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）△DAQ∽△APB，見解析；（2）y＝，2＜x＜2

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是正方形，得AD∥BC，∠B＝90°，∠DAP＝∠APB，根據DQ⊥AP，得∠B＝∠AQD，即可證出△DAQ∽△APB；

（2）根據△DAQ∽△APB，得，再把AB＝2，DA＝2，PA＝x，DQ＝y代入得出，y＝．根據點P在BC上移到C點時，PA最長，求出此時PA的長即可得出x的取值范圍．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BC，∠B＝90°，

∴∠DAP＝∠APB，

∵DQ⊥AP，

∴∠AQD＝90°，

∴∠B＝∠AQD，

∴△DAQ∽△APB；

（2）∵△DAQ∽△APB，

∴，

∵AB＝2，四邊形ABCD是正方形，

∴DA＝2，

∵PA＝x，DQ＝y，

∴，

∴y＝．

∵點P在BC上移到C點時，PA最長，此時PA＝，

又∵P是BC邊上與B、C不重合的任意一點，

∴x的取值范圍是；2＜x＜2．