Question

【題目】閱讀下面材料，完成（1）～（3）題．

數學課上，老師出示了這樣一道題：

如圖1，△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，點D在AB上，且AD＝kAB（其中0＜k＜），直線CD繞點D順時針旋轉90°與直線CB繞點B逆時針旋轉90°后相交于點E，探究線段DC、DE的數量關系，并證明．

同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現DC與DE相等”；

小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，可以得到DC與DE相等”

小強：“通過進一步的推理計算，可以得到BE與BC的數量關系”

老師：“保留原題條件，連接CE交AB于點O．如果給出BO與DO的數量關系，那么可以求出COEO的值”

（1）在圖1中將圖補充完整，并證明DC＝DE；

（2）直接寫出線段BE與BC的數量關系　 　（用含k的代數式表示）；

（3）在圖2中將圖補充完整，若BO＝DO，求COEO的值（用含a的代數式表示）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BE＝（1﹣2k）BC；（3）

【解析】

（1）作DM⊥BC于M，DN作BE于N，則∠DMC=∠DNE=90°，由等腰直角三角形的性質得出∠ABC=45°，AB=BC=a，由旋轉的性質得∠CDE=∠CBE=90°，則∠DBE=45°，∠MDN=90°，∠CDM=∠EDN，∠ABC=∠ABE，由角平分線的性質得出DM=DN，由ASA證得△CDM≌△EDN（ASA），即可得出結論；
（2）由（1）得△CDM≌△EDN，則CM=EN，易證四邊形BMDN是矩形，△BDM是等腰直角三角形，證明四邊形BMDN是正方形，得出BM=BN，推出BC+BE=BM+CM+BM-CM=2BM=BD，BD=AB-AD=（1-k）AB=（1-k）BC，則BC+BE=BD=2（1-k）BC，即可得出結果；
（3）由∠CDE+∠CBE=90°+90°=180°，得出B、C、D、E四點共圓，得出COEO=DOBO，即可得出結果．

解：（1）將圖補充完整，如圖1所示：

作DM⊥BC于M，DN作BE于N，

則∠DMC＝∠DNE＝90°，

∵AC＝BC＝a，∠ACB＝90°，

∴∠ABC＝45°，AB＝BC＝，

由旋轉的性質得：∠CDE＝∠CBE＝90°，

∴∠DBE＝90°﹣45°＝45°，∠MDN＝90°，

∴∠CDM＝∠EDN，∠ABC＝∠ABE，

∵DM⊥BC于M，DN作BE于N，

∴DM＝DN，

在△CDM和△EDN中，，

∴△CDM≌△EDN（ASA），

∴DC＝DE；

（2）BE＝（1﹣2k）BC，理由如下：

由（1）得：△CDM≌△EDN，

∴CM＝EN，

∵∠CBE＝90°，DM⊥BC，DN⊥BE，

∴四邊形BMDN是矩形，

∵∠ABC＝45°，

∴△BDM是等腰直角三角形，

∴DM＝BM，BM＝BD，

∴四邊形BMDN是正方形，

∴BM＝BN，

∵BC＝BM+CM，

∴BC+BE＝BM+CM+BM﹣CM＝2BM＝BD，

∵AD＝kAB，

∴BD＝AB﹣AD＝（1﹣k）AB＝（1﹣k）BC，

∴BC+BE＝BD＝2（1﹣k）BC，

整理得：BE＝（1﹣2k）BC；

故答案為：BE＝（1﹣2k）BC；

（3）將圖補充完整，如圖2所示：

∵∠CDE+∠CBE＝90°+90°＝180°，

∴B、C、D、E四點共圓，

∴COEO＝DOBO，

∵BO＝DO，

∴COEO＝DOBO＝DO2＝×（BD）2＝×（）2×[（1﹣k）a]2＝．