Question

【題目】菱形ABCD中，∠BAD＝60°，BD是對角線，點E、F分別是邊AB、AD上兩個點，且滿足AE＝DF，連接BF與DE相交于點G．

（1）如圖1，求∠BGD的度數；

（2）如圖2，作CH⊥BG于H點，求證：2GH＝GB+DG；

（3）在滿足（2）的條件下，且點H在菱形內部，若GB＝6，CH＝4，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）∠BGD＝120°；（2）見解析；（3）S四邊形ABCD＝26．

【解析】

（1）只要證明△DAE≌△BDF，推出∠ADE=∠DBF，由∠EGB=∠GDB+∠GBD=∠GDB+∠ADE=60°，推出∠BGD=180°-∠BGE=120°；
（2）如圖3中，延長GE到M，使得GM=GB，連接BD、CG．由△MBD≌△GBC，推出DM=GC，∠M=∠CGB=60°，由CH⊥BG，推出∠GCH=30°，推出CG=2GH，由CG=DM=DG+GM=DG+GB，即可證明2GH=DG+GB；
（3）解直角三角形求出BC即可解決問題；

（1）解：如圖1﹣1中，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等邊三角形，

∴AB＝DB，∠A＝∠FDB＝60°，

在△DAE和△BDF中，

，

∴△DAE≌△BDF，

∴∠ADE＝∠DBF，

∵∠EGB＝∠GDB+∠GBD＝∠GDB+∠ADE＝60°，

∴∠BGD＝180°﹣∠BGE＝120°．

（2）證明：如圖1﹣2中，延長GE到M，使得GM＝GB，連接CG．

∵∠MGB＝60°，GM＝GB，

∴△GMB是等邊三角形，

∴∠MBG＝∠DBC＝60°，

∴∠MBD＝∠GBC，

在△MBD和△GBC中，

，

∴△MBD≌△GBC，

∴DM＝GC，∠M＝∠CGB＝60°，

∵CH⊥BG，

∴∠GCH＝30°，

∴CG＝2GH，

∵CG＝DM＝DG+GM＝DG+GB，

∴2GH＝DG+GB．

（3）如圖1﹣2中，由（2）可知，在Rt△CGH中，CH＝4，∠GCH＝30°，

∴tan30°＝，

∴GH＝4，

∵BG＝6，

∴BH＝2，

在Rt△BCH中，BC＝，

∵△ABD，△BDC都是等邊三角形，

∴S四邊形ABCD＝2S△BCD＝2××（）2＝26．