Question

如圖，在平面直角坐標系中有兩點A（2，0）和B（0，2），a為過點A且垂直于x軸的直線，P（x，0）為x軸的負半軸上的任一點，連接BP，過P點作PC⊥PB交直線a于點C（2，y）．
（1）求y與x之間的函數關系式；
（2）若將條件“P（x，0）為x軸的負半軸上的任一點”改為“P為x軸上的任一點”，試猜想：（1）中的函數關系式是否仍然成立？請在“①：0＜x＜2”、“②：x＞2”中選擇一種情形畫圖并計算說明；
（3）在（2）的條件下，當y=-

3

2

時，試求△PBC的面積．

Answer 1

分析：（1）由同角的余角相等，可得∠PBO=∠CPA，又由∠BOP=∠PAC=90°，可得△POB∽△CAP，由相似三角形的對應邊成比例，易得

OP

OB

=

AC

AP

，即可求得y=-

1

2

x²+x；
（2）畫出圖形，證明方法與（1）相同，易得所得結果不變；
（3）首先代入函數解析式，即可求得x的值，然后求得兩直角邊的值，即可求得面積．

解答：解：（1）∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

-x

2

=

-y

2-x

，
即y=-

1

2

x²+x．（x＜0）
解法2：在Rt△PBC中運用勾股定理，也可得y=-

1

2

x²+x．

（2）（1）中的函數關系式仍然成立．
①如圖：∵∠BOP=∠PAC=90°，
∴∠PBO+∠BPO=∠CPA+∠BPO，
∴∠PBO=∠CPA，
∴△POB∽△CAP．
∴

OP

OB

=

AC

AP

，
∴

x

2

=

y

2-x

，
∴y=-

1

2

x²+x．（0＜x＜2）

（3）當y=-

3

2

時，-

1

2

x²+x=-

3

2

，
解得x₁=3，x₂=-1．
∴當x=3時，PB=

OB2+OP2

=

22+32

=

13

，PC=

13

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB•PC=

13

4

；
當x=-1時，PB=

5

，PC=

3 5

2

，
∴S_△PBC=

1

2

PB•PC=

15

4

．
故△PBC的面積為

13

4

或者

15

4

．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，以及直角三角形的性質．解題的關鍵是數形結合思想的應用，還要注意圖形的變化．