Question

【題目】(2016廣東省茂名市第25題)如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，且與y軸交于點C，點D是拋物線的頂點，拋物線的對稱軸DE交x軸于點E，連接BD．

（1）求經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；

（2）點P是線段BD上一點，當PE=PC時，求點P的坐標；

（3）在（2）的條件下，過點P作PF⊥x軸于點F，G為拋物線上一動點，M為x軸上一動點，N為直線PF上一動點，當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，請求出點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)、y=﹣x2+2x+3；(2)、（2，2）；(3)、（，0），（，0），（，0），（，0）．

【解析】

試題分析：(1)、利用待定系數法求出過A，B，C三點的拋物線的函數表達式；(2)、連接PC、PE，利用公式求出頂點D的坐標，利用待定系數法求出直線BD的解析式，設出點P的坐標為（x，﹣2x+6），利用勾股定理表示出PC2和PE2，根據題意列出方程，解方程求出x的值，計算求出點P的坐標；(3)、設點M的坐標為（a，0），表示出點G的坐標，根據正方形的性質列出方程，解方程即可．

試題解析：(1)、∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴， 解得，， ∴經過A，B，C三點的拋物線的函數表達式為y=﹣x2+2x+3；

(2)、如圖1，連接PC、PE， x=﹣=﹣=1， 當x=1時，y=4，

∴點D的坐標為（1，4）， 設直線BD的解析式為：y=mx+n，則， 解得，，

∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6， 設點P的坐標為（x，﹣2x+6），

則PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， ∵PC=PE，

∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， 解得，x=2， 則y=﹣2×2+6=2， ∴點P的坐標為（2，2）；

(3)、設點M的坐標為（a，0），則點G的坐標為（a，﹣a2+2a+3），

∵以F、M、G為頂點的四邊形是正方形， ∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|，

當2﹣a=﹣a2+2a+3時， 整理得，a2﹣3a﹣1=0， 解得，a=，

當2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）時， 整理得，a2﹣a﹣5=0， 解得，a=，

∴當以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時，點M的坐標為（，0），（，0），（，0），（，0）．