Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），C（0，3）兩點，與x軸交于點B．

（1）若直線y=mx+n經過B、C兩點，求直線BC和拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸x=﹣1上找一點M，使點M到點A的距離與到點C的距離之和最小，求出點M的坐標；
（3）設點P為拋物線的對稱軸x=﹣1上的一個動點，求使△BPC為直角三角形的點P的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得： ，

解之得： ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣2x+3

∵對稱軸為x=﹣1，且拋物線經過A（1，0），

∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分別代入直線y=mx+n，

得 ，

解之得： ，

∴直線y=mx+n的解析式為y=x+3

（2）

解：設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．

把x=﹣1代入直線y=x+3得，y=2，

∴M（﹣1，2），

即當點M到點A的距離與到點C的距離之和最小時M的坐標為（﹣1，2）；

（3）

解：

設P（﹣1，t），

又∵B（﹣3，0），C（0，3），

∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，

①若點B為直角頂點，則BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；

②若點C為直角頂點，則BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，

③若點P為直角頂點，則PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1= ，t2= ；

綜上所述P的坐標為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1， ） 或（﹣1， ）．

【解析】（1）先把點A，C的坐標分別代入拋物線解析式得到a和b，c的關系式，再根據拋物線的對稱軸方程可得a和b的關系，再聯立得到方程組，解方程組，求出a，b，c的值即可得到拋物線解析式；把B、C兩點的坐標代入直線y=mx+n，解方程組求出m和n的值即可得到直線解析式；（2）設直線BC與對稱軸x=﹣1的交點為M，則此時MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點M坐標；（3）設P（﹣1，t），又因為B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2 ， PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值即可求出點P的坐標．本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、利用軸對稱性質確定線段的最小長度、難度不是很大，是一道不錯的中考壓軸題．