Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，交斜邊AC于點D，點E為OB的中點，連接CE并延長交⊙O于點F，點F恰好落在 的中點，連接AF并延長與CB的延長線相交于點G，連接OF．

（1）求證：OF= BG；
（2）若AB=4，求DC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作⊙O，點F恰好落在 " src="http://xtk.7ccj.com/Upload/2017/02/11/00/939f9aaf/http://tk.7ccj.com/MathMLToImage?src=math> 的中點，

∴ ，

∴∠AOF=∠BOF，

∵∠ABC=∠ABG=90°，

∴∠AOF=∠ABG，

∴FO∥BG，

∵AO=BO，

∴FO是△ABG的中位線，

∴FO= BG；

（2）

解：

在△FOE和△CBE中，

，

∴△FOE≌△CBE（ASA），

∴BC=FO= AB=2，

∴AC= =2 ，

連接DB，

∵AB為⊙O直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠ABC，

∵∠BCD=∠ACB，

∴△BCD∽△ACB，

∴ ，

∴ = ，

解得：DC= ．

【解析】（1）直接利用圓周角定理結合平行線的判定方法得出FO是△ABG的中位線，即可得出答案；（2）首選得出△FOE≌△CBE（ASA），則BC=FO= AB=2，進而得出AC的長，再利用相似三角形的判定與性質得出DC的長．此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識，正確得出△BCD∽△ACB是解題關鍵．