Question

在邊長為6的菱形ABCD中，動點M從點A出發，沿A→B→C向終點C運動，連接DM交AC于點N．
（1）如圖1，當點M在AB邊上時，連接BN

①試說明：；
②若∠ABC=60°，AM=4，求點M到AD的距離．
（2）如圖2，若∠ABC=90°，記點M運動所經過的路程為x（6≤x≤12）．試問：x為何值時，△ADN為等腰三角形．

Answer 1

(1)①見解析；②；（2）x為6或18-或12時，△ADN為等腰三角形．

試題分析：（1）根據菱形的四條邊都相等可得AB=AD，對角線平分一組對角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“邊角邊”證明；
（2）根據有一個角是直角的菱形的正方形判斷出四邊形ABCD是正方形，再根據正方形的性質點M與點B、C重合時△ADN是等腰三角形；AN=AD時，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．
試題解析：
（1）證明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SAS）；
（2）∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴當x=6時，點M與點B重合，AN=DN，△ADN為等腰三角形，
當x=12時，點M與點C重合，AD=DN，△ADN為等腰三角形，
當AN=AD時，在Rt△ACD中，，
CN=AC-AN=，
∵正方形ABCD的邊BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴，
即，
解得CM=，
∴BM=BC-AM=6-（）=12- ，
x=AB+BM=6+12- =18- ，
綜上所述，x為6或18-或12時，△ADN為等腰三角形．