Question

【題目】如圖，以AB為直徑的⊙O交△ABC的邊AC于D、BC于E，過D作⊙O的切線交BC于F，交BA延長線于G，且DF⊥BC．

（1）求證：BA＝BC；

（2）若AG＝2，cosB＝，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連結OD，如圖，根據切線的性質得OD⊥DF，而DF⊥BC，根據平行線的判定得到OD∥BC，然后利用平行線的性質和等量代換可得∠OAD=∠C，則根據等腰三角形的判定定理即可得到結論；

（2）作DH⊥AB于H，如圖，設⊙O的半徑為r，由平行線的性質得cos∠DOG=cosB=，則在Rt△ODG中利用余弦可計算出r=3，再在Rt△ODH中利用余弦可求出OH=，則AH=，利用勾股定理可計算出AD，然后證明DE=AD即可．

（1）證明：連結OD，如圖，

∵DF為切線，

∴OD⊥DF，

∵DF⊥BC，

∴OD∥BC，

∴∠ODA＝∠C，

而OA＝OD，

∴∠ODA＝∠OAD，

∴∠OAD＝∠C，

∴BA＝BC；

（2）作DH⊥AB于H，如圖，設⊙O的半徑為r，

∵OD∥BC，

∴∠B＝∠DOG，

∴cos∠DOG＝cosB＝，

在Rt△ODG中，∵cos∠DOG＝，即，

∴r＝3，

在Rt△ODH中，∵cos∠DOH＝，

∴OH＝，

∴AH＝3﹣＝，

在Rt△ADH中，AD＝，

∵∠DEC＝∠C，

∴DE＝DC，

而OA＝OB，OD∥BC，

∴AD＝CD，

∴DE＝AD＝．