Question

【題目】如圖，等腰△ABC如圖放置，頂角的頂點C在直線m上，分別過點A、B作直線m的垂線，垂足分別為E、D，且AE＝CD．

（1）求證：△AEC≌△CDB；

（2）若設△AEC的三邊長分別為a、b、c，利用此圖證明勾股定理．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析

【解析】

（1）通過直角三角形兩銳角互余證明∠CAE＝∠BCD ，再證得△CAE≌△BCD，

（2）利用等面積法證得勾股定理．

（1）證明：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE+∠BCD＝90°．

∵∠ACE+∠CAE＝90°，

∴∠CAE＝∠BCD．

在△AEC與△BCD中，

，

∴△CAE≌△BCD（AAS）．

（2）解：由①知：△CAE≌△BCD，

∴BD＝CE＝a，CD＝AE＝b，

∴S梯形AEDB＝

又∵S梯形AEDB＝S△AEC+S△BCD+S△ABC

∴

整理，得a2+b2＝c2．