Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，四邊形是平行四邊形，，若，的長是關于的一元二次方程的兩個根，且.

（1）直接寫出：______，______；

（2）若點為軸正半軸上的點，且；

①求經過，兩點的直線解析式；

②求證：.

（3）若點在平面直角坐標系內，則在直線上是否存在點，使以，，，為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）4，3；（2）①；，②證明見解析；（3）；；；.

【解析】

（1）解一元二次方程求出OA，OB的長度即可；

（2）先根據三角形的面積求出點E的坐標，并根據平行四邊形的對邊相等的性質求出點D的坐標，然后利用待定系數法求解直線的解析式；分別求出兩三角形夾直角的兩對應邊的比，如果相等，則兩三角形相似，否則不相似；

（3）根據菱形的性質，分AC與AF是鄰邊并且點F在射線AB上與射線BA上兩種情況，以及AC與AF分別是對角線的情況分別進行求解計算．

（1）方程，

分解因式得：，

可得：，，

解得：，，

∵，

∴，；

故答案為4，3；

（2）①根據題意，設，則，

解得：，

∴，

∵四邊形是平行四邊形，

∴點的坐標是，

設經過、兩點的直線的解析式為，

則，

解得：，

∴解析式為；

②如圖，

在與中，，，

∴，

又∵，

∴；

（3）根據計算的數據，，

∵，

∴平分，

分四種情況考慮：

①、是鄰邊，點在射線上時，，

∴點與重合，即；

②、是鄰邊，點在射線上時，應在直線上，且垂直平分，

此時點坐標為；

③是對角線時，做垂直平分線，解析式為，直線過，且值為（平面內互相垂直的兩條直線值乘積為-1），

∴解析式為，

聯立直線與直線，得：，

解得：，，

∴；

④是對角線時，過作垂線，垂足為，

∵，

∴，

在中，，，

根據勾股定理得，即，

做關于的對稱點，記為，，

過做軸垂線，垂足為，，

∴，

綜上所述，滿足條件的點有四個：；；；.