Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，點D是邊BC上（不與B，C重合）一動點，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于點E，下列結論：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；⑤當AD＝時，△ABD≌△DCE；④△DCE為直角三角形，BD為4或6.25．其中正確的結論是_____．（把你認為正確結論序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①易證△ABD∽△ADF，結論正確；

②由①結論可得：AE=，再確定AD的范圍為：3≤AD＜5，即可證明結論正確；

③分兩種情況：當BD＜4時，可證明結論正確，當BD＞4時，結論不成立；故③錯誤；

④△DCE為直角三角形，可分兩種情況：∠CDE=90°或∠CED=90°，分別討論即可．

解：如圖，在線段DE上取點F，使AF=AE，連接AF，

則∠AFE=∠AEF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠ADE=∠B=a，

∴∠C=∠ADE=a，

∵∠AFE=∠DAF+∠ADE，∠AEF=∠C+∠CDE，

∴∠DAF=∠CDE，

∵∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，

∴∠CDE=∠BAD，

∴∠DAF=∠BAD，

∴△ABD∽△ADF

∴，即AD2=ABAF

∴AD2=ABAE，

故①正確；

由①可知：，

當AD⊥BC時，由勾股定理可得：

，

∴，

∴，即，故②正確；

如圖2，作AH⊥BC于H，

∵AB=AC=5，

∴BH=CH=BC=4，

∴，

∵AD=AD′=，

∴DH=D′H=，

∴BD=3或BD′=5，CD=5或CD′=3，

∵∠B=∠C

∴△ABD≌△DCE（SAS），△ABD′與△D′CE不是全等形

故③不正確；

如圖3，AD⊥BC，DE⊥AC，

∴∠ADE+∠DAE=∠C+∠DAE=90°，

∴∠ADE=∠C=∠B，

∴BD=4；

如圖4，DE⊥BC于D，AH⊥BC于H，

∵∠ADE=∠C，

∴∠ADH=∠CAH，

∴△ADH∽△CAH，

∴，即，

∴DH=，

∴BD=BH+DH=4+==6.25，

故④正確；

綜上所述，正確的結論為：①②④；

故答案為：①②④.