Question

如圖，AC⊥BC于點C，BC=4，CA=3，AB=5，⊙O與直線AB、 BC、CA都相切，則⊙O的半徑等于_________．

Answer 1

設AC、BA、BC與⊙O的切點分別為D、F、E；由勾股定理可得：BF=BE，AF=AD，CD=CE；可用DC分別表示出BE、BF的長，根據BF=BE，得出CD的表達式；連接OD、OE；易證得四邊形ODCE是正方形，即OE=OD=CD，由此可求出⊙O的半徑．
解：設AC、BA、BC與⊙O的切點分別為D、F、E；連接OD、OE；

∵AC、BE是⊙O的切線，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE=90°；
∴四邊形ODCE是矩形；
∵OD=OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE=OD=CD；
設CD=CE=x，則AD=AF=b-x；
連接OB，OF，
由勾股定理得：BF²=OB²-OF²，BE²=OB²-OE²，
∵OB=OB，OF=OE，
∴BF=BE，
則BA+AF=BC+CE，c+b-x=a+x，即x=；
故⊙O的半徑為2．