Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AB=AD=CD，以AB為直徑的⊙O經過點C，連接AC，OD交于點E．

（1）證明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，證明：DA與⊙O相切；

（3）在（2）條件下，連接BD交于⊙O于點F，連接EF，若BC=1，求EF的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）連接OC，證△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB為直徑知BC⊥AC，從而得OD∥BC；

（2）根據tan∠ABC=2可設BC=a、則AC=2a、AD=AB=，證OE為中位線知OE=a、AE=CE=AC=a，進一步求得DE==2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理證∠OAD=90°即可得；

（3）先證△AFD∽△BAD得DFBD=AD2①，再證△AED∽△OAD得ODDE=AD2②，由①②得DFBD=ODDE，即，結合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，據此可得，結合（2）可得相關線段的長，代入計算可得．

（1）如圖，連接OC，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO=∠CDO，

又AD=CD，

∴DE⊥AC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC==2，

∴設BC=a、則AC=2a，

∴AD=AB=，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，

在△AED中，DE==2a，

在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，

OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，

∴AO2+AD2=OD2，

∴∠OAD=90°，

則DA與⊙O相切；

（3）如圖，連接AF，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AFD=∠BAD=90°，

∵∠ADF=∠BDA，

∴△AFD∽△BAD，

∴，即DFBD=AD2①，

又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，

∴△AED∽△OAD，

∴，即ODDE=AD2②，

由①②可得DFBD=ODDE，即，

又∵∠EDF=∠BDO，

∴△EDF∽△BDO，

∴，

∵BC=1，

∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，

∴，

∴EF=.