Question

【題目】如圖，拋物線經過點，，三個點．

（1）求拋物線解析式；

（2）若點，為該拋物線上的兩點，且．求的取值范圍；

（3）在線段上是否存在一點（不與點，點重合），使點，點到直線的距離之和最大？若存在，求的度數，并直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，60°，

【解析】

（1）利用待定系數法將O，A，B三個點的坐標代入y=ax2+bx+c即可求得a，b，c的值，進而求得拋物線解析式．
（2）設出點P關于對稱軸對稱的點的坐標，利用數形結合的思想求解即可．
（3）分析如圖，運用點到直線的距離的性質求解即可．

解：（1）拋物線經過點，，，

，解得．

（2）由（1）拋物線開口向上，對稱軸為直線，得

點關于直線的對稱點是．

當時，隨的增大而小．

當時，隨的增大而增大．

當時，．

（3）存在．
如圖，

分別過點A，B作AM⊥x軸于點M，BN⊥x軸于點N，并作BE⊥OC于點E，AD⊥OC于點D．
∵AD≤AC，BE≤BC，
∴AD+BE≤AC+BC=AB．
∴當OC⊥AB時，點A，點B到直線OC的距離之和最大．
過點A作AM⊥x軸于點M，過B作BN⊥x軸于點N．AB與x軸交于H．
又∵A（-1，-），B（-3，），
∴AM=BN=，∠AMH=∠BNH=90°．
又∵∠AHO=∠BHN，
∴△AMH≌△BNH．
∴MH=NH．
又∵OM=1，ON=3，
∴OM=MH=NH=1．

，

．

同理：．

點坐標為．