Question

9．如圖，在平行四邊形ABCD中，點E、F分別在AD、BC邊上，且AE=CF，AF與BE交于G，CE與DF交于H．求證：四邊形EGFH是平行四邊形．

Answer 1

分析 先證明四邊形AFCE是平行四邊形，得AF∥EC，再證明四邊形EBFD是平行四邊形，得∠EBF=∠EDF，易證明△BGF≌△HED，則GF=EH，根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊得出結論．

解答 證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AE∥FC，
∵AE=FC，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF∥EC，
∵AD=BC，AE=FC，
∴ED=BF，
∵ED∥BF，
∴四邊形EBFD是平行四邊形，
∴∠EBF=∠EDF，
∵AF∥EC，AD∥BC，
∴∠AFB=∠ECB，∠ECB=∠CED，
∴∠AFB=∠CED，
在△BGF和△DHE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠EDF}\\{BF=ED}\\{∠BFG=∠HED}\end{array}\right.$，
∴△BGF≌△HED（ASA），
∴GF=EH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定和性質，證明四邊形AFCE和BFDE是平行四邊形是關鍵．