Question

【題目】如圖所示，O為一個模擬鐘面圓心，M、O、N 在一條直線上，指針 OA、OB 分別從 OM、ON 出發繞點 O 轉動，OA 運動速度為每秒 30°，OB 運動速度為每秒10°，當一根指針與起始位置重合時，運動停止，設轉動的時間為 t 秒，試解決下列問題：

（1）如圖①，若OA順時針轉動，OB逆時針轉動，= 　　 秒時，OA與OB第一次重合；

（2）如圖②，若OA、OB同時順時針轉動，

①當=3秒時，∠AOB= 　　 °；

②當為何值時，三條射線OA、OB、ON其中一條射線是另兩條射線夾角的角平分線？

Answer 1

【答案】（1）4.5；（2）① 120°；②經過4.5，7.2秒時，其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.

【解析】

（1）設t秒后第一次重合．根據題意，列出方程，解方程即可；

（2）①利用180°減去OA轉動的角度，加上OB轉動的角度，即可得到答案；

②先用t的代數式表示∠BON和∠AON，然后分為三種情況進行討論：當ON、OA、OB為角平分線時，分別求出t的值，即可得到答案.

解：（1）若OA順時針轉動，OB逆時針轉動，

∴∠AOM+∠BON=180°,

∴，

解得：；

∴秒，OA與OB第一次重合；

故答案為：4.5；

（2）①若OA、OB同時順時針轉動，

∴，，

∴；

故答案為：120；

② 由題意知，

∴∠BON＝10t ，∠AON＝180－30t (0≤t≤6)，∠AON＝30t－180(6<t≤12).

當ON為∠AOB的角平分線時，有

180－30t ＝10t ，

解得：t ＝4.5；

當OA為∠BON的角平分線時，

10t ＝2(30t －180)，

解得：t ＝7.2；

當OB為∠AON的角平分線時，

30t －180＝2×10t ，

解得：t ＝18（舍去）；

∴經過4.5，7.2秒時，射線OA、OB、ON其中一條射線是另外兩條射線夾角的平分線.