Question

已知二次函數y=x²–kx+k–1（k＞2）.

（1）求證：拋物線y=x²–kx+k-1（k＞2）與x軸必有兩個交點;
（2）拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側）,與y軸交于點C,若,求拋物線的表達式;
（3）以（2）中的拋物線上一點P（m,n）為圓心,1為半徑作圓,直接寫出：當m取何值時,x軸與相離、相切、相交.

Answer 1

（1）證明見解析;
（2）拋物線的表達式為;
（3）當或時,x軸與相離.
當或或時,x軸與相切.
當或時,x軸與相交．

解析試題分析：（1）要證明二次函數的圖象與x軸都有兩個交點,證明二次函數的判別式是正數即可解決問題;
（2）根據函數解析式求出A、B、C點坐標,再由,求出函數解析式;
（3）先求出當或或時,x軸與相切,再寫出相離與相交．
試題解析：（1）∵,
又∵,
∴.
∴即.
∴拋物線y=x²–kx+k-1與x軸必有兩個交點;
(2)∵拋物線y=x²–kx+k-1與x軸交于A、B兩點,
∴令,有.
解得：.
∵,點A在點B的左側,
∴.
∵拋物線與y軸交于點C,
∴.
∵在Rt中,,
∴,解得.
∴拋物線的表達式為;
（3）解：當或時,x軸與相離.
當或或時,x軸與相切.
當或時,x軸與相交．
考點：二次函數綜合．