Question

某商品的進價為每件40元,售價為每件50元,每個月可賣出210件;如果每件商品的售價每上漲1元．則每個月少賣10件(每件售價不能高于65元)．設每件商品的售價上漲元(為正整數),每個月的銷售利潤為元．
（1）求與的函數關系式并直接寫出自變量的取值范圍;
（2）每件商品的售價定為多少元時,每個月可獲得最大利潤?最大的月利潤是多少元?
（3）每件商品的售價定為多少元時,每個月的利潤恰為2200元?根據以上結論,請你直接寫出售價在什么范圍時,每個月的利潤不低于2200元?

Answer 1

（1））根據題意可知y=﹣10（x﹣5.5）²+2402.5,0＜x≤15;
（2）當售價定為每件55或56元,每個月的利潤最大,最大的月利潤是2400元;
（3）當售價不低于51元且不高于60元且為整數時,每個月的利潤不低于2200元．

解析試題分析:（1）根據題意可知y=﹣10（x﹣5.5）²+2402.5,0＜x≤15;
（2）當x=5.5時y有最大值．
（3）設y=2200,解得x的值．然后分情況討論解．
試題解析:（1）∵設每件商品的售價上漲x元（x為正整數）,每個月的銷售利潤為y元．
∴上漲后每件商品的利潤為（10+x）元,每月能銷售（210﹣10x）件商品;
由題意得:y=（210﹣10x）（50+x﹣40）
=﹣10x²+110x+2100
=﹣10（x﹣5.5）²+2402.5（0＜x≤15且x為整數）;
（2）∵a=﹣10＜0,
∴當x=5.5時,y有最大值2402.5．
∵0＜x≤15,且x為整數,
當x=5時,50+x=55,y=2400（元）,當x=6時,50+x=56,y=2400（元）
∴當售價定為每件55或56元,每個月的利潤最大,最大的月利潤是2400元;
（3）當y=2200時,﹣10x²+110x+2100=2200,
解得:x₁=1,x₂=10．
∴當x=1時,50+x=51,當x=10時,50+x=60．
∴當售價定為每件51或60元,每個月的利潤為2200元．
當售價不低于51或60元,每個月的利潤為2200元．
當售價不低于51元且不高于60元且為整數時,每個月的利潤不低于2200元（或當售價分別為51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元時,每個月的利潤不低于2200元）．
考點:二次函數的應用．