Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上的一點，點D是 的中點，過D作⊙O的切線交AC于E，DE=3，CE=1．

（1）求證：DE⊥AC；
（2）求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵DE是⊙O的切線，

∴∠ODE=90°，

∵D是 的中點，

∴ = ，

∴∠CAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠CAD=∠ODA，

∴AE∥OD，

∴∠AED=180°﹣∠ODE=90°，

∴DE⊥AC

（2）解：作OF⊥AC于F，

則AF=CF，四邊形OFED是矩形，

∴OF=ED=3，OD=EF，

設⊙O的半徑為R，則AF=CF=R﹣1，

在Rt△AOF中，AF2+OF2=OA2，

∴（R﹣1）2+32=R2，

解得R=5，

即⊙O的半徑為5．

【解析】（1）連接AD，由DE是⊙O的切線，得到∠ODE=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ODA=∠OAD，等量代換得到∠CAD=∠ODA，根據平行線的判定 定理得到AE∥OD，于是得到結論；（2）作OF⊥AC于F，推出四邊形OFED是矩形，根據矩形的性質得到OF=ED=3，OD=EF，設⊙O的半徑為R，則AF=CF=R﹣1，根據勾股定理列方程即可得到結論．
【考點精析】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關系和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等；在同圓或等圓中，同弧等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．