Question

（1997•河南）如圖，a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，且a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根．點D在AB上，以BD為直徑的⊙O切AC于點E．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）若tanA=

3

4

，求AE的長．

Answer 1

分析：（1）由a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根，根據根與系數的關系，可得a+b=c+4，ab=4（c+2），繼而可得a²+b²=c²，則可判定△ABC是直角三角形．
（2）連接OE，由tanA=

3

4

與a+b=c+4，可求得a，b，c的值，又由平行線分線段成比例定理，可求得半徑的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）△ABC是直角三角形．
理由：∵a、b是關于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的兩個根．
∴a+b=c+4，ab=4（c+2），（1分）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab
=（c+4）²-8（c+2）
=c²．
∴△ABC是直角三角形．（2分）

（2）∵∠C=90°，
∴tanA=

a

b

=

3

4

，
設a=3k，則b=4k，從而c=5k（k＞0）．
∵a+b=c+4，
∴3k+4k=5k+4，
解得：k=2．
∴a=6，b=8，c=10．（5分）
連接OE．（6分）
∵AE是切線，
∴OE⊥AE．
又∵BC⊥AC，
∴OE∥BC．（7分）
∴△AOE∽△ABC，
∴

OE

BC

=

OA

AB

，
∴

OE

6

=

10-OE

10

，
解得：OE=

15

4

，
在Rt△AOE中，AE=

OE

tanA

=

15 4

3 4

=5．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理、根與系數的關系以及三角函數等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想與方程思想的應用．