Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，連接BD，AB=2AD，點E在AB邊上，連接ED．

（1）若∠ADE=30°，DE=6，求△BDE的面積；

（2）延長CB至點F使得BF=2AD，連接FE并延長交AD于點M，過點A作AN⊥EM于點N，連接BN，求證：FN=AN+BN．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析．

【解析】試題分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形求出EA，DA的值，然后根據AB＝2AD求出AB的長，進而求出BE的長，利用三角形的面積公式即可求出面積；

（2）作輔助線，構建全等三角形，證明△FHB≌△ANB，得BH＝BN，HF＝AN，則△HBN是等腰直角三角形，有NH＝NB，根據線段的和代入得結論．

試題解析：

解：（1）在Rt△ADE中，

∵∠EDA＝30°，∴EA＝ ED＝ ×6＝3，

DA＝EDcos30°＝6×＝3，

∴BE＝2DA﹣EA＝6﹣3，∴S△BED＝ ×BE×DA＝ （6﹣3）×3＝ ；

（2）如圖，過B作BH⊥BN，交FM于H，

∴∠NBH＝∠NBA＋∠EBH＝90°，

又∵∠ABF＝∠HBF＋∠EBH＝90°，

∴∠NBA＝∠HBF，

∵CF∥AD，

∴∠AMN＝∠F，

∵AN⊥EM，

∴∠AMN＋∠MAN＝90°，

∠MAN＋∠NAB＝90°，

∴∠NAB＝∠AMN，

∴∠NAB＝∠F，

又∵BF＝2AD，AB＝2AD，

∴AB＝BF，

∴△ANB≌△FHB，

∴BN＝BH，AN＝FH，

∴△BNH是等腰直角三角形，

∴NH＝NB，

∵FN＝FH＋NH

＝AN＋NB/span>．