Question

【題目】把一個長為、寬為的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長方形，然后拼成一個正方形（如圖1）．

（1）請用兩種不同的方法求圖2中陰影部分的面積（直接用含，的代數式表示）

方法1：________，方法2：____；

（2）根據（1）中結論，請你寫出下列三個代數式，，間的等量關系：____；

（3）根據（2）題中的等量關系，解決如下問題：己知實數、滿足，，請求出的值：

（4）已知，請求出的值．

Answer 1

【答案】（1）（m-n）2；（m+n）2-4mn；（2）（m-n）2=（m+n）2-4mn;(3) 1；(4) ± ．

【解析】

（1）由題意知，陰影部分為一正方形，其邊長正好為m-n．根據正方形的面積公式即可求出圖中陰影部分的面積，也可以用大正方形的面積減去四個小長方形的面積由圖形可得，大正方形的面積減去四個小長方形的面積正好等于圖中陰影部分的面積．
（2）由（1）中的兩種方法表示陰影部分的面積故它們相等，從而得到這三個代數式的數量關系；

（3）將兩式分別平方后展開，再把兩相減即可求出ab的值；
（4）用完全平方公式進行變形即可求出x的值．

解：（1）方法1：由題意可得陰影部分為一正方形，其邊長正好為m-n，
∴陰影部分的面積（m-n）2，
方法2：圖中陰影部分的面積用大正方形的面積減去四個小長方形的面積可得：（m+n）2-4mn，
故答案為：（m-n）2；（m+n）2-4mn；
（2）由圖2得：（m+n）2-4mn=（m-n）2；
故答案為：（m-n）2=（m+n）2-4mn．
（3）∵a+b＝ ，a-b=1，
∴（a+b）2=5，（a-b）2=1，
即a2+2ab+b2=5，a2-2ab+b2=1，
兩式相減得：4ab=4，
∴ab=1；
（4）∵x+＝3，
∴(x+)2＝9，
∴x2+2+＝9，

∴x22+＝5，
∴(x)2＝5，
∴x＝± ．