Question

【題目】如圖，△ABC中，D是BC上一點，∠DAC=∠B，E為AB上一點．
（1）求證：△CAD∽△CBA；
（2）若BD=10，DC=8，求AC的長；
（3）在（2）的條件下，若DE∥AC，AE=4，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△CAD和△CBA中，

∠DAC=∠B，∠ACD=∠BCA，

∴△CAD∽△CBA

（2）解：∵△CAD∽△CBA，

∴ = ，即AC2=CD×CB，

又∵BD=10，DC=8，

∴AC2=8×18=144，

∴AC=±12，

又∵AC＞0，

∴AC=12

（3）解：∵DE∥AC，

∴ = ，

又∵BD=10，DC=8，AE=4，

∴ = ，

∴BE=5．

【解析】（1）有兩組角對應相等的兩個三角形相似，據此判斷△CAD∽△CBA即可；（2）根據相似三角形的對應邊成比例，得出AC2=CD×CB，再根據BD=10，DC=8，求得AC的長即可；（3）根據平行線分線段成比例定理，由DE∥AC，得出 = ，再根據BD=10，DC=8，AE=4，求得BE=5即可．
【考點精析】關于本題考查的平行線分線段成比例和相似三角形的判定與性質，需要了解三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．