Question

【題目】已知拋物線過點（3，1），D為拋物線的頂點．直線l：經過定點A．

（1）直接寫出拋物線的解析式和點A的坐標；

（2）如圖，直線l與拋物線交于P，Q兩點．

①求證：∠PDQ=90°；

②求△PDQ面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為；A（1,4）（2）①證明見解析；②當時，取得最小值16．

【解析】

（1）將點代入解析式求得的值即可；直線l：經過定點A．

即此時取值與K無關，即=中K系數為0，即可求出點A坐標。

（2）①設點的坐標為，，點為，，聯立直線和拋物線解析式，化為關于的方程可得，據此知，由、、、知，即，從而得，據此進一步求解可得；

②過點作軸的垂線交直線于點，則，根據列出關于的等式求解可得．

解：（1）將點代入解析式，得：，

解得：，

所以拋物線解析式為；

∵直線l：經過定點A．

∴=中當x=1時，y=4，

∴定點A為（1,4）.

（2）①證明：設點的坐標為，，點為，，（其中，，，

由，得：，

，

，

如圖2，分別過點、作軸的垂線，垂足分別為、，

則，，

、，

，

，

又，

，

，

而，

，即；

②過點作軸的垂線交直線于點，則點的坐標為，

所以，

，

當時，取得最小值16．