Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E是BC的中點，連接DE，過點A作AG⊥ED交DE于點F，交CD于點G．

（1）證明：△ADG≌△DCE；（2）連接BF，證明：AB＝FB．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）依據正方形的性質以及垂線的定義，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；

（2）延長DE交AB的延長線于H，根據△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中點，進而得到AB＝FB．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，

又∵AG⊥DE，

∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，

∴∠DAG＝∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）；

（2）如圖所示，延長DE交AB的延長線于H，

∵E是BC的中點，

∴BE＝CE，

又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA），

∴BH＝DC＝AB，

即B是AH的中點，

又∵∠AFH＝90°，

∴Rt△AFH中，BF＝ AH＝AB．