Question

已知：關于x的一元二次方程．
（1）求證：不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數根；
（2）若方程的兩個實數根為x₁和x₂，滿足，且x₁＜-x₂，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用含m的代數式表示出判別式△，然后把△進行配方，即可判斷；
（2）利用一元二次方程的根與系數的關系以及方程的根的定理，把變化成關于m的方程，解方程即可求得m的值．
解答：解：（1）證明：△=m²-4×1×=m²-2m+8=（m-1）²+7．
∵（m-1）²≥0
∴（m-1）²+7＞0，
∴△＞0
∴不論m為何值時，方程總有兩個不相等的實數根．
（2）∵x₁和x₂是方程x²+mx+=0的兩個實數根，
∴+mx₁+=0，
x1+x₂=-m，x₁+x₂=
∴=-mx₁-．
∵16+4x₁x₂=16mx²+25
∴16（-mx₁-）+4x₁x₂-16mx²-25=0，
整理，得-16m（x₁+x₂）+4x₁x₂-8m+7=0
-16m（-m）+4×-8m+7=0
16m²-6m-1=0
（2m-1）（8m+1）=0，m=或m=-
∵x₁＜-x₂
∴x₁+x₂=-m＜0．
∴m＞0，
∴m=．
點評：本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，利用含m的代數式正確對進行變形是關鍵．