Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為6，E、F分別是AB、BC邊上的點，且∠EDF=45°，將△DAE繞點D逆時針旋轉90°，得到△DCM．若AE=2，則FM的長為 ．

Answer 1

【答案】5
【解析】解：∵△DAE逆時針旋轉90°得到△DCM，
∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三點共線，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∴∠EDF+∠FDM=90°，
∵∠EDF=45°，
∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF=MF，
設EF=MF=x，
∵AE=CM=2，且BC=6，
∴BM=BC+CM=8，
∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=8﹣x，
∵EB=AB﹣AE=4，
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2 ，
即42+（8﹣x）2=x2 ，
解得：x=5，
∴FM=5．
故答案為：5．
由旋轉可得DE=DM，∠EDM為直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF為45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF與三角形MDF全等，由全等三角形的對應邊相等可得出EF=MF；則可得到AE=CM=2，正方形的邊長為6，用AB﹣AE求出EB的長，再由BC+CM求出BM的長，設EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=8﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為FM的長．