Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，E為BC上一點，以CE為直徑作⊙O，AB與⊙O相切于點D，連接CD，若BE=OE=2．

(1)求證：∠A=2∠DCB；
(2)求圖中陰影部分的面積（結果保留和根號）．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）.

試題分析：（1）連接OD，則OD⊥AB，可知∠A=∠DOB.由∠DOB=2∠DCB得：∠A=2∠DCB；
（2）由圖形可知：陰影部分的面積=S△BOD-扇形DOE的面積，代入相關數據即可求出.
試題解析：（1）證明：連接OD．

∵AB與⊙O相切于點D，
∴ OD⊥AB，
∴∠B＋∠DOB=90°．
∵∠ACB=90°，
∴∠A＋∠B=90°，
∴∠A=∠DOB．
∵OC=OD，
∴∠DOB=2∠DCB．
∴∠A=2∠DCB．
（2）在Rt△ODB中，
∵OD=OE，OE=BE，
∴sin∠B=，
∴∠B=30°，∠DOB=60°．
∵BD=OB·sin60°=，
∴，
∴.
考點: 1.切線的判定；2.扇形面積的計算.