Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是的中點，CE⊥AB于E，BD交CE于點F，

（1）求證：CF＝BF；
（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半徑和CE的長。

Answer 1

（1）證明見解析；（2）10，9.6.

試題分析：（1）由AB是⊙O的直徑，CE⊥AB，易得∠2=∠A，又由C是的中點，可得∠1=∠A，即可得∠1=∠2，判定CF=BF；
（2）由C是的中點，可得BC=CD=12，又由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，即可求得AB的長，然后由三角的面積，求得CE的長．
試題解析：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵CE⊥AB，
∴∠CEB=90°，
∴∠2=90°-∠ABC=∠A，
又∵C是弧BD的中點，
∴∠1=∠A，
∴∠1=∠2，
∴CF=BF；
（2）∵C是的中點，
∴，
∴BC=CD=12，
又∵在Rt△ABC中，AC=16，
∴由勾股定理可得：AB=20，
∴⊙O的半徑為10，
∵S△ABC=AC•BC=AB•CE，
∴．
考點: 1.圓周角定理；2.勾股定理；3.圓心角、弧、弦的關系．