Question

【題目】如圖，一次函數y＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y＝（m≠0，x＞0）的圖象在第一象限內交于點A，B，且該一次函數的圖象與y軸正半軸交于點C，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為D，E．已知A（1，4），＝．

（1）求m的值和一次函數的解析式；

（2）若點M為反比例函數圖象在A，B之間的動點，作射線OM交直線AB于點N，當MN長度最大時，直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4，y＝﹣x+5；（2）（2，2）

【解析】

（1）先把A點坐標代入y＝中求出m得到反比例函數解析式為y＝；再證明△CDA∽△CEB，利用相似比求出BE＝4，則利用反比例函數解析式確定B點坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式；

（2）利用點A與點B關于直線y＝x對稱，反比例函數y＝﹣關于y＝x對稱可判斷當OM的解析式為y＝x時，MN的長度最大，然后解方程組得此時M點的坐標．

（1）把A（1，4）代入y＝得m＝1×4＝4，

∴反比例函數解析式為y＝；

∵BD⊥y軸，AD⊥y軸，

∴AD∥BE，

∴△CDA∽△CEB，

∴＝，即＝，

∴BE＝4，

當x＝4時，y＝＝＝1，

∴B（4，1），

把A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，解得，

∴一次函數解析式為y＝﹣x+5；

（2）∵點A與點B關于直線y＝x對稱，反比例函數y＝﹣關于y＝x對稱，

∴當OM的解析式為y＝x時，MN的長度最大，

解方程組得或，

∴此時M點的坐標為（2，2）．