Question

【題目】在△ABC中，以AB邊上的中線CD為直徑作圓，如果與邊AB有交點E（不與點D重合），那么稱為△ABC的C﹣中線弧．例如，如圖中是△ABC的C﹣中線弧．在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC存在C﹣中線弧，其中點A與坐標原點O重合，點B的坐標為（2t，0）（t＞0）．

（1）當t＝2時，

①在點C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2）中，滿足條件的點C是　 　；

②若在直線y＝kx（k＞0）上存在點P是△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心，其中CD＝4，求k的取值范圍；

（2）若△ABC的C﹣中線弧所在圓的圓心為定點P（2，2），直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）①C2，C4；②且k≠1；（2）且t≠2．

【解析】

（1）①先確定出點C的橫坐標的范圍即可得出結論；

②先確定出分界點點P，P'的坐標，即可得出結論；

（2）表示出點D的坐標，再分點E在線段AD和BD上，求出AE，利用0≤AE≤2t，且AE≠t，即可得出結論．

解：（1）當t＝2時，點B的坐標為（4，0），

∵點D是AB的中點，∴D（2，0），

①如圖1，

過點C作CE⊥AB于E，則∠CED＝90°，

∴CE⊥AB，

即點C和點E的橫坐標相同，

∵點E是以CD為直徑與邊AB的交點，

∴0≤AE≤4，

∵點E與點D重合，

∴AE≠2，

∴點E的橫坐標大于等于0小于等于4，且不等于2，

即點E的橫坐標大于等于0小于等于4，且不等于2，

∵點C1（﹣3，2），C2（0，2），C3（2，4），C4（4，2），

∴只有點C2，C4的橫坐標滿足條件，

故答案為C2，C4；

②∵△ABC的中線CD＝4，

∴點C在以點D為圓心4為直徑的弧上，

由①知，點C的橫坐標大于等于0小于等于4，且不等于2，

∴點C在如圖2所示的 上（點H（2，4）除外），

∵點P是以CD為直徑的圓的圓心，

∴點P在如圖2所示的上（點G（2，2）除外），

在Rt△OAM中，AD＝2，MD＝4，

根據勾股定理得，AO＝2，

∴C（0，2），

同理：C'（4，2），

∵點P是DC的中點，

∴P（1，），

同理：點P'（3，），

當直線y＝kx過點P（1，）時，得k=，

當直線y＝kx過點P'（3，）時，得，

當直線y＝kx過點G（2，2）時，得k＝1，

結合圖形，可得k的取值范圍是且k≠1；

（2）同（1）①知，點E的橫坐標大于等于0小于等于2t，且不等于t，

∵點D是AB的中點，且B（2t，0），

∴D（t，0），

當點E在線段AD上時，AE＝t﹣2（t﹣2）＝﹣t+4≥0，

∴t≤4，

當點E在線段BE上時，AE＝2（2﹣t）+t≤2t，

∴t≥，

∴且t≠2．