Question

20．如圖，在△ABC中，AB=BC，D是AC中點，BE平分∠ABD交AC于點E，點O是AB上一點，⊙O過B、E兩點，交BD于點G，交AB于點F．
（1）判斷直線AC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）當BD=6，AB=10時，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結OE，如圖，由BE平分∠ABD得到∠OBE=∠DBO，加上∠OBE=∠OEB，則∠OBE=∠DBO，于是可判斷OE∥BD，再利用等腰三角形的性質得到BD⊥AC，所以OE⊥AC，于是根據切線的判定定理可得AC與⊙O相切；
（2）設⊙O半徑為r，則AO=10-r，證明△AOE∽△ABD，利用相似比得到$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）AC與⊙O相切．理由如下：
連結OE，如圖，
∵BE平分∠ABD，
∴∠OBE=∠DBO，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠DBO，
∴OE∥BD，
∵AB=BC，D是AC中點，
∴BD⊥AC，
∴OE⊥AC，
∴AC與⊙O相切；
（2）設⊙O半徑為r，則AO=10-r，
由（1）知，OE∥BD，
∴△AOE∽△ABD，
∴$\frac{AO}{AB}$=$\frac{OE}{BD}$，即$\frac{10-r}{10}$=$\frac{r}{6}$，
∴r=$\frac{15}{4}$，
即⊙O半徑是$\frac{15}{4}$．

點評 本題考查了切線的判定：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．解決（2）小題的關鍵是利用相似比構建方程．