Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB＝2AD＝4．將△ADE繞點A逆時針方向旋轉一個角度α（0°≤α≤180°），BD的延長線交直線CE于點P.
（1）如圖2，BD與CE的數量關系是        , 位置關系是         ；
（2）在旋轉的過程中，當AD⊥BD時，求出CP的長；
（3）在此旋轉過程中，求點P運動的路線長.[

Answer 1

（1）BD=EC，BD⊥CE；（2）；（3）.

試題分析：（1）利用三角形中位線性質以及等腰直角三角形的性質得出即可.
（2）首先得出△ABD≌△ACE（SAS），進而求出四邊形ADPE為正方形，即可得出CP的長.
（3）由（2）知，當α=60°時，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時∠AOP=60°，得出點P運動的路線是以O為圓心，OA長為半徑的弧長，進而利用弧長公式求出即可．
試題解析：（1）BD=EC，BD⊥CE．理由如下：
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按圖1方式放置，∠A=90°， AD邊與AB邊重合， AB=2AD=4，
∴D，E分別是AB和AC的中點.
∴BD=EC=AD=AE，BD⊥CE.
（2）如圖3所示：
∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE.
∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）.∴∠ABD=∠ACE.
∵∠1=∠2，∴BP⊥CE.
∵AD⊥BP，∠DAE=90°，AD=AE，∴四邊形ADPE為正方形．∴AD=PE=2.
∵∠ADB=90°，AD=2，AB=4，∴∠ABD=30°.
∴BD=CE=.
∴CP=CE-PE=.

（3）如圖4，取BC的中點O，連接OP、OA，
∵∠BPC=∠BAC=90°，∴OP=OA=BC=.
在此旋轉過程中（0°≤α≤180°），由（2）知，當α=60°時，∠PBA最大，且∠PBA=30°，此時∠AOP=60°，
∴點P運動的路線是以O為圓心，OA長為半徑的弧長.
∴點P運動的路線長為：