Question

圖1是李晨在一次課外活動中所做的問題研究：他用硬紙片做了兩個三角形，分別為△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．將△DEF的斜邊DE與△ABC的斜邊AC重合在一起，并將△DEF沿AC方向移動．在移動過程中，D、E兩點始終在AC邊上(移動開始時點D與點A重合)．
（1）請回答李晨的問題：若CD=10，則AD=    ；
（2）如圖2，李晨同學連接FC，編制了如下問題，請你回答：
①∠FCD的最大度數為    ；   
②當FC∥AB時，AD=    ；
③當以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊時，AD=    ;
④△FCD的面積s的取值范圍是    .

Answer 1

（1）2；（2）① 60°；②；③；④.

試題分析：（1）根據等腰直角三角形的性質，求出AC的長，即可得到AD的長.
（2）①當點E與點C重合時，∠FCD的角度最大，據此求解即可.
②過點F作FH⊥AC于點H，應用等腰直角三角形的判定和性質，含30度角直角三角形的性質求解即可.
③過點F作FH⊥AC于點H，AD=x，應用含30度角直角三角形的性質把FC用x來表示，根據勾股定理列式求解.
④設AD=x，把△FCD的面積s表示為x的函數，根據x的取值范圍來確定s的取值范圍.
試題解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.
∵CD=10，∴AD=2.          
（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.
∵當點E與點C重合時，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度數=∠DEF="60°."
② 如圖，過點F作FH⊥AC于點H，
∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.
∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.
∵AC=12，∴AD=.

③如圖，過點F作FH⊥AC于點H，設AD=x，
由②知DH=3，FH=，則HC=.
在Rt△CFH中，根據勾股定理，得.
∵以線段AD、FC、BC的長度為三邊長的三角形是直角三角形，且FC為斜邊，
∴，即，解得. 

④設AD=x，易知，即.
而，
當時，；當時，.
∴△FCD的面積s的取值范圍是.