Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸的正半軸上，是邊上的一點，，.反比例函數在第一象限內的圖像經過點，交于點，.

(1)求這個反比例函數的表達式，

(2)動點在矩形內，且滿足.

①若點在這個反比例函數的圖像上，求點的坐標，

②若點是平面內一點，使得以、、、為頂點的四邊形是菱形，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）① ；②

【解析】

（1）設點B的坐標為（m，n），則點E的坐標為（m，n），點D的坐標為（m6，n），利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出m的值，結合OC：CD＝5：3可求出n值，再將m，n的值代入k＝mn中即可求出反比例函數的表達式；

（2）由三角形的面積公式、矩形的面積公式結合S△PAO＝S四邊形OABC可求出點P的縱坐標．

①若點P在這個反比例函數的圖象上，利用反比例函數圖象上點的坐標特征可求出點P的坐標；

②由點A，B的坐標及點P的縱坐標可得出AP≠BP，進而可得出AB不能為對角線，設點P的坐標為（t，4），分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮：（i）當AB＝AP時，利用勾股定理可求出t值，進而可得出點P1的坐標，結合P1Q1的長可求出點Q1的坐標；（ii）當BP＝AB時，利用勾股定理可求出t值，進而可得出點P2的坐標，結合P2Q2的長可求出點Q2的坐標．綜上，此題得解．

解：（1）設點B的坐標為（m，n），則點E的坐標為（m，n），點D的坐標為（m6，n）．

∵點D，E在反比例函數的圖象上，

∴k＝mn＝（m6）n，

∴m＝9．

∵OC：CD＝5：3，

∴n：（m6）＝5：3，

∴n＝5，

∴k＝mn＝×9×5＝15，

∴反比例函數的表達式為y＝；

（2）∵S△PAO＝S四邊形OABC，

∴OAyP＝OAOC，

∴yP＝OC＝4．

①當y＝4時，＝4，

解得：x＝，

∴若點P在這個反比例函數的圖象上，點P的坐標為（，4）．

②由（1）可知：點A的坐標為（9，0），點B的坐標為（9，5），

∵yP＝4，yA＋yB＝5，

∴y P≠，

∴AP≠BP，

∴AB不能為對角線．

設點P的坐標為（t，4）．

分AP＝AB和BP＝AB兩種情況考慮（如圖所示）：

（i）當AB＝AP時，（9t）2＋（40）2＝52，

解得：t1＝6，t2＝12（舍去），

∴點P1的坐標為（6，4），

又∵P1Q1＝AB＝5，

∴點Q1的坐標為（6，9）；

（ii）當BP＝AB時，（9t）2＋（51）2＝52，

解得：t3＝92，t4＝9＋2（舍去），

∴點P2的坐標為（92，4）．

又∵P2Q2＝AB＝5，

∴點Q2的坐標為（92，1）．

綜上所述：點Q的坐標為（6，9）或（92，1）．