Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C（0，2），點M（m，n）是拋物線上一動點，位于對稱軸的左側，并且不在坐標軸上，過點M作x軸的平行線交y軸于點Q，交拋物線于另一點E，直線BM交y軸于點F．

（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點坐標；

（2）當S△MFQ：S△MEB=1：3時，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+x+2，頂點坐標為（，）；（2）（1，3）或（﹣12，﹣88）．

【解析】

試題分析：（1）把點A、B、C的坐標代入拋物線解析式得到關于a、b、c的三元一次方程組，然后求解即可，再把函數解析式整理成頂點式形式，然后寫出頂點坐標；

（2）根據點M的坐標表示出點Q、E的坐標，再設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），然后利用待定系數法求出一次函數解析式，再求出點F的坐標，然后求出MQ、FQ、ME，再表示出△MFQ和△MEB的面積，然后列出方程并根據m的取值范圍整理并求解得到m的值，再根據點M在拋物線上求出n的值，然后寫出點M的坐標即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），

∴，

解得，

∴y=﹣x2+x+2，

∵y=﹣x2+x+2=﹣（x2﹣3x+）++2=﹣（x﹣）2+，

∴頂點坐標為（，）；

（2）∵M（m，n），

∴Q（0，n），E（3﹣m，n），

設直線BM的解析式為y=kx+b（k≠0），

把B（4，0），M（m，n）代入得，

解得，

∴，

令x=0，則y=，

∴點F的坐標為（0，），

∴MQ=|m|，FQ=|﹣n|=||，ME=|3﹣m﹣m|=|3﹣2m|，

∴S△MFQ=MQFQ=|m|||=||，

S△MEB=ME|n|=|3﹣2m||n|，

∵S△MFQ：S△MEB=1：3，

∴||×3=|3﹣2m||n|，

即||=|3﹣2m|，

∵點M（m，n）在對稱軸左側，

∴m＜，

∴=3﹣2m，

整理得，m2+11m﹣12=0，

解得m1=1，m2=﹣12，

當m1=1時，n1=﹣×12+×1+2=3，

當m2=﹣12時，n2=﹣×（﹣12）2+×（﹣12）+2=﹣88，

∴點M的坐標為（1，3）或（﹣12，﹣88）．