Question

【題目】定義：如點M、N把線段AB分割成AM、MN、BN，若以AM、MN、BN，為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．

（1）如圖2，已知點C、D是線段AB的勾股分割點，若AC=3，DB=4，求CD的長；

（2）如圖3，在正方形ABCD中，∠MAM=45°，角的兩邊AM、AN分別交BD于E、F（不與端點重合），求證：E、F是BD的勾股分割點．

Answer 1

【答案】（1）5或．（2）證明過程見解析．

【解析】

（1）①當CD為最大線段時，由勾股定理求出CD的長；②當BD為最大線段時，由勾股定理求出CD即可；

（2）將△ABF繞點A順時針旋轉90°得到△ADH，連接HE，只要證明△EAH≌△EAF，推出EF=HE，再證明∠HDE=90°即可．

（1）解：①當CD為最大線段時，

∵點C、D是線段AB的勾股分割點

∴CD===5

②當BD為最大線段時，

∵點C、D是線段AB的勾股分割點

∴CD===

綜上，CD的長為5或．

（2）證明：如圖，將△ABF繞點A順時針旋轉90°得到△ADH，連接HE

∵∠BAF+∠DAE=90°-∠MAN=90°-45°=45°，∠BAF=∠DAH

∴∠DAH+∠DAE=45°

即∠EAH=45°

在△EAH和△EAF中

∴△EAH≌△EAF（SAS）

∴EH=EF

∵四邊形ABCD為正方形，BD為對角線

∴∠ABF=∠ADB=45°

∴∠ADH=∠ABF=∠ADB =45°

∴∠HDE=90°

在Rt△DHE中，HE2=DH2+DE2

∵DH=BF，EF=HE

∴EF2=BF2+DE2

∴E、F是BD的勾股分割點．