Question

【題目】如圖，在中，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)，線段BE、CD相交于點(diǎn)O，且．

求證： ∽；

求證： ；

若M、N分別是BE、CD的中點(diǎn)，過MN的直線交AB于P，交AC于Q，線段AP、AQ相等嗎？為什么？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3），理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)已知條件得到∠DOB=∠A，由于∠ABE=∠ABE，于是得到結(jié)論；
（2）延長CD，在CD延長線上取一點(diǎn)F，使BF=BD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠BDF=∠BFD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠BDF=∠BEC，于是得到∠BFD=∠BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）取BC的中點(diǎn)G，連接GM，GN，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到GM∥CE，GM=CE，GN∥BD，GN=BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠2=∠4，∠3=∠1，等量代換得到∠1=∠2，于是得到AP=AQ．

試題解析： 證明： ，

，

，

，

，

∽；

解：延長CD，在CD延長線上取一點(diǎn)F，使，

，

，

由得，

，

，

在與中， ，

≌，

，

；

解： ，

理由：取BC的中點(diǎn)G，連接，

分別是的中點(diǎn)，

是中位線，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．