Question

10．在△ABC中，∠ACB=30°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉，得到△A₁BC₁．
（1）如圖1，當點C₁在線段CA的延長線時，求∠CC₁A₁的度數；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如圖2，連接AA₁，CC₁，若△CBC₁的面積為16，求△ABA₁的面積；
②如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉的過程中，點P的對應是點P₁，直接寫出線段EP₁長度的最大值．

Answer 1

分析 （1）由旋轉的性質可得：∠A₁C₁B=∠ACB=30°，BC=BC₁，又由等腰三角形的性質，即可求得∠CC₁A₁的度數；
（2）①由△ABC≌△A₁BC₁，易證得△ABA₁∽△CBC₁，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA₁的面積；
②當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，即可求得線段EP₁長度的最大值．

解答 解：（1）依題意得：△A₁C₁B≌△ACB，
∴BC₁=BC，∠A₁C₁B=∠C=30°，
∴∠BC₁C=∠C=30°，
∴∠CC₁A₁=60°；
（2）如圖2所示：
由（1）知：△A₁C₁B≌△ACB，
∴A₁B=AB，BC₁=BC，∠A₁BC₁=∠ABC，
∴∠1=∠2，$\frac{{A}_{1}B}{{C}_{1}B}=\frac{AB}{CB}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴△A₁BA∽△C₁BC，
∴$\frac{{S}_{△{A}_{1}BA}}{{S}_{△{C}_{1}BC}}$=（$\frac{3}{4}$）²，
∵△CBC₁的面積為16，
∴△ABA₁的面積=9
（3）線段EP₁長度的最大值為11，理由如下：
如圖3所示：當P在AC上運動至點C，△ABC繞點B旋轉，使點P的對應點P₁在線段AB的延長線上時，EP₁最大，
最大值為：EP₁=BC+BE=8+3=11．
即線段EP₁長度的最大值為11．

點評 此題是三角形綜合題目，考查了旋轉的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的性質以及最大值問題；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似是解決問題（2）的關鍵．