Question

【題目】如圖1，在等邊△ABC的邊AC的延長線上取一點E，以CE為邊作等邊△CDE，使它與△ABC位于直線AE的同側．
（1）同學們對圖1進行了熱烈的討論，猜想出如下結論，你認為正確的有（填序號）． ①△ACD≌△BCE；②△ACP≌△BCQ； ③△DCP≌△ECQ；④∠ARB=60°；⑤△CPQ是等邊三角形．
（2）當等邊△CED繞C點旋轉一定角度后（如圖2），（1）中有哪些結論還是成立的？并對正確的結論分別予以證明．

Answer 1

【答案】
（1）①②③④⑤
（2）解：當等邊△CED繞C點旋轉一定角度后 （1）中結論①、④仍然成立，證明如下：

∵△ABC和△CDE是等邊三角形

∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60°，

∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD

即∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠BCE=∠CAD，

又∵∠APC=∠BPR，

∴∠ACB=∠ARB，

∵∠ACB=60°，

∴∠ARB=60°．

【解析】解：（1）∵等邊△ABC和等邊△CDE， ∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD與△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC=∠EBC，
同理證明△ACP≌△BCQ；△DCP≌△ECQ；
進而得出∠ARB=60°；△CPQ是等邊三角形；
所以正確的有①②③④⑤；
故答案為：①②③④⑤；
（1）根據等邊三角形的性質得出各角都是60°，各邊相等，再利用全等三角形的判定和性質證明即可；（2）根據旋轉的性質和全等三角形的判定解答即可．